Matemática: agosto 2009

lunes, 24 de agosto de 2009

polinomio:

¿Que son los polinomios?

Polinomio, en matemáticas, se denomina a la suma de varios monomios, llamados términos del polinomio. Es una expresión algebraica constituida por una o más variables, utilizando solamente operaciones de adición, sustracción, multiplicación y exponentes numéricos positivos. El polinomio de un sólo término se denomina monomio, el de dos binomio, el de tres trinomio.

La expresión general de los polinomios que sólo tienen una variable, los más utilizados, es:

$P(x)= a_n x^{n} + a_{n-1} x^{n-1} + a_{n-2} x^{n-2} + \cdots + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 \,$

por ejemplo:

$P(x)= 7 x^5 + 9 x^4 - 14 x^2 + 6 x - 12 \,$

Se denomina grado de un polinomio a la mayor potencia de los monomios que lo componen.

¿la historia de los polinomios?

La resolución de ecuaciones algebraicas, o la determinación de las raíces de polinomios, está entre los problemas más antiguos de la matemática. Sin embargo, la elegante y práctica notación que utilizamos actualmente se desarrolló a partir del siglo XV.

En el problema 14º del papiro de Moscú (ca. 1890 a. C.) se pide calcular el volumen de un tronco de pirámide cuadrangular. El escriba expone los pasos: eleva al cuadrado 2 y 4, multiplica 2 por 4, suma los anteriores resultados y multiplícalo por un tercio de 6 (h); finaliza diciendo: «ves, es 56, lo has calculado correctamente». En notación algebraica actual sería: V = h (t² + b² + tb) / 3, un polinomio de cuatro variables (V, h, t, b) que, conociendo tres, permite obtener la cuarta variable.

Algunos polinomios, como f(x) = x² + 1, no tienen ninguna raíz que sea número real. Sin embargo, si el conjunto de las raíces posibles se extiende a los números complejos, todo polinomio (no constante) tiene una raíz: ese es el enunciado del teorema fundamental del álgebra.

Hay una diferencia entre la aproximación de raíces y el descubrimiento de fórmulas concretas para ellas. Se conocen fórmulas de polinomios de hasta cuarto grado desde el siglo XVI (ver ecuación cuadrática, Gerolamo Cardano, Niccolo Fontana Tartaglia). Pero, las fórmulas para polinomios de quinto grado fueron irresolubles para los investigadores durante mucho tiempo. En 1824, Niels Henrik Abel demostró que no puede haber fórmulas generales para los polinomios de quinto grado o mayores (ver el teorema de Abel-Ruffini). Este resultado marcó el comienzo de la teoría de Galois que se ocupa del estudio detallado de las relaciones existentes entre las raíces de los polinomios.

La máquina diferencial de Charles Babbage fue diseñada para crear automáticamente tablas de valores de funciones logarítmicas y diferenciales, evaluando aproximaciones polinómicas en muchos puntos, usando el método de las diferencias de Newton.

Las funciones polinómicas son aquellas que surgen de evaluar los polinomios sobre las variables en las que están definidos. Son una clase de funciones suaves, esto es, son infinitamente diferenciables (tienen derivadas de todos los órdenes finitos).

A las funciones polinómicas de:

Función polinómica de grado 0, que también se denomina: funciones constantes
Función polinómica de grado 1, que también se denomina: funciones lineales,
Función polinómica de grado 2, que también se denomina: funciones cuadráticas,
Función polinómica de grado 3, que también se denomina: funciones cúbicas.
Función polinómica de grado 4, que también se denomina: funciones de grado 4.

Debido a su estructura simple, los polinomios son muy sencillos de evaluar, y se usan ampliamente en análisis numérico para interpolación polinómica o para integrar numéricamente funciones más complejas. Una manera muy eficiente para evaluar polinomios es la utilización de la regla de Horner.

En álgebra lineal el polinomio característico de una matriz cuadrada codifica muchas propiedades importantes de la matriz. En teoría de los grafos el polinomio cromático de un grafo codifica las distintas maneras de colorear los vértices del grafo usando x colores.

Con el desarrollo de la computadora, los polinomios han sido remplazados por funciones spline en muchas áreas del análisis numérico. Las splines se definen a partir de polinomios y tienen mayor flexibilidad que los polinomios ordinarios cuando definen funciones simples y suaves. Éstas son usadas en la interpolación spline y en gráficos por computadora.

operaciones de polinomios:

Los polinomios se pueden sumar y restar agrupando los términos y simplificando los monomios semejantes. Para multiplicar polinomios se multiplica cada término de un monomio por el término del otro monomio y se simplifican los monomios semejantes, posteriormente.

Factorización [editar]

Artículo principal: Factorización

Para factorizar un polinomio de segundo grado completo (con todos los términos) se divide por el inverso de una de sus raíces sumado con la incógnita, siendo los factores el número por el que dividimos y el resultado; ya que no hay resto, cumpliéndose así que dividendo = divisor Χ cociente + resto. En caso de que el polinomio no tenga término independiente se sacará la incógnita como factor común y ya está factorizado. También se puede factorizar usando las igualdades notables.

Ejemplos [editar]

Las funciones polinómicas de una variable (x), se corresponden con diversas curvas planas, que se pueden representar en un sistema de coordenadas cartesianas XY.

Polinomio de grado 2: f(x) = x² - x - 2 = (x+1)(x-2)	Polinomio de grado 3: f(x) = x³/5 + 4x²/5 - 7x/5 - 2 = 1/5 (x+5)(x+1)(x-2)
Polinomio de grado 4: f(x) = 1/14 (x+4)(x+1)(x-1)(x-3) + 0.5	Polinomio de grado 5: f(x) = 1/20 (x+4)(x+2)(x+1)(x-1)(x-3) + 2

La función

$f(x)= 13x^4 - 7x^3 + \begin{matrix}\frac{2}{3}\end{matrix} x^2 - 5x + 3$

es un ejemplo de función polinómica con coeficiente principal 13 y una constante de 3.

Un polinomio es una expresión con letras y números sumados y multiplicados

P(x,y)=x y ²+2x-3y+5y³-1 los numeros se denominan coeficientes y las letras variables

La maxima potencia de las variables se llama grado del polinomio .

Estudiaremos polinomios con una sola variable ej: p(x)=x³-3x²+5x-1 es un polinomio de tercer grado La Suma

Operación suma: la suma de dos polinomios se hace sacando factor común a la misma potencia de la variable. (x³-3x²+5x-1)+( 2x³+x²-2x+1)= (1+2)x³+(-3+1)x²+(5-2)x-(1-1)

La resta de la misma manera pero restando los numeros.

La multiplicación :

la multiplicación se realiza haciendo uso de la propiedad distributiva esto es multiplicando (signos variables y coeficientes) cada uno del primer factor por todos los del segundo .

La división :

Para realizar la division ajustaremos(signos variables y coeficientes de los primeros sumandos del dividendo y del divisor , multiplicamos este or el divisor y los restamos del dividendo bajando la siguiente suma asi hasta que el grado del resto es menor que el grado del divisor.

Se cumple la prueba de la división D(x)=d(x)·c(x)+r(x)

3x³-4x²+2x-1=(x-3)·(3x²+5x+17) +50

valor

Valor : se llama valor de un polinomio P(x) en un punto x=a al resultado de substituir la x por a P(a)

Ej : x³-3x²+5x-1 en x=2 es 2³-3·2²+5·2-1

ceros

Se llama cero de un polinomio a una substitucion de la x tal que su valor sea cero esto es P(a)=0

Ej: x²-9 en x=3 vale cero luego decimos que 3 es un cero de x²-9

Si nos fijamos en la división del ejemplo el numero 3 es un cero del polinomio divisor (x-3)

Si substituimos la prueba 3x³-4x²+2x-1=(x-3)·(3x²+5x+17) +50 la x® 3 queda

prueba 3 3³-4 3²+2 3-1=(3-3)·(3 3²+5 3+17) +50=50 pues 3-3=0

TEOREMA DEL RESTO:

EL Resto de la division de dos polinomios puede calcularse: haciendo la división o substituyendo en el dividendo los ceros del divisor

Pues bien al igual que con los números un polinomio es divisible por otro cuando al hacer la division el resto sea cero . y un polinomio primo a aquel que no tiene divisores.

POLINOMIOS PRIMOS

Polinomios primos serán los de primer grado esto es de la forma (x ± a) pues si no fuesen primos habría otros que lo dividiría y tendría un grado menor pero esto no puede ser.

DIVISIBILIDAD

Teorema : Los divisores de un polinomio serán pues de la forma (x- sus ceros) , cuando los tengan de lo contrarios tambien serían primos.

Si P(x) es divisible por (x-a) el resto será cero pero por el teorema del resto este resto es el valor de P(a)

Por tanto a será tal que P(a)=0 o sea un cero de P(x).

Teorema de factorización

Un polinomio factoriza como producto de el coeficiente de maximo grado por el producto de (x- ceros)

Sumas de Cardano:

Si de lo visto obtenemos una regla general sera la que sigue:

Termino independiente sera la multiplicación de todos los n ceros ± segun que sea par o impar la cantidad

El termino en x sera la suma de todas las n-1 multiplicaciones que se puedan hacer con los ceros cambiando el signo del anterior

El coeficiente de x² sera la suma de todas las n-2 multiplicaciones posibles cambiando el signo del anterior

Y así el coeficiente de x^k será la suma de todas las n-k multiplicaciones posibles que se puedan hacer con los ceros.

Ejemplo :

Encontrar un polinomio que tenga por ceros : 1, 2, 3

X³-(1+2+3)x²+(1·2+1·3+2·3)x-(1·2·3)=x³-6x²+11x-6

Lo que se ve inmediatamnete es que los ceros de un polinomio tienen que ser divisores del termino independiente.

De esta conclusión Ruffini se valió para encontrar un mecanismo de ensayo y error para encontrar los ceros enteros de un polinomio.

El mecanismo es el que sigue en el organigrama de la figura para encontrar ceros que sean enteros:

Para encontrar ceros fraccionarios y siempre en el caso de que no hayan suficientes enteros

Ej:

12x3+16x2+7x+1=0

y aplicamos ruffini para calcular el valor de b ; si no se encuentra

en la ecuación hacemos a=2 y así consecutivamente hasta obtener los tres ceros.

ecuaciones

¿ejersicios de las ecuaciones?

Resuelve la ecuaciones:

a) $3x+5=14$

b) $2 + x =7$

c) $6=3x$

d) $5-x=3$
Resuelve las ecuaciones:

a) $2x+5=x-12$

b) $x+7-3x=4-8x$
¿Que son las ecuaciones?
na ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas, denominadas miembros, en las que aparecen valores conocidos o datos, y desconocidos o incógnitas, relacionados mediante operaciones matemáticas. Los valores conocidos pueden ser números, coeficientes o constantes; y también variables cuya magnitud se haya establecido como resultado de otras operaciones. Las incógnitas, representadas generalmente por letras, constituyen los valores que se pretende hallar. Por ejemplo, en la ecuación:

$\overbrace{3x-1}^{\text{primer miembro}}=\overbrace{9+x}^{\text{segundo miembro}}$

La letra x representa la incógnita, mientras que el coeficiente 3 y los números 1 y 9 son constantes conocidas. Resolver una ecuación es encontrar los valores de las incógnitas que la satisfacen, y se llama solución de una ecuación a cualquier valor de dichas variables que cumpla la igualdad planteada. Para el caso dado, la solución es:

$x = 5 \,$

Todo problema matemático puede expresarse en forma de una o más ecuaciones. Sin embargo no todas las ecuaciones tienen solución, ya que es posible que no exista ningún valor de la incógnita que haga cierta una dada igualdad. También puede ocurrir que haya varios o incluso infinitos conjuntos de valores que la satisfagan.

En el caso que todo valor posible de la incógnita haga cumplir la igualdad, la expresión se llama identidad. Si en lugar de una igualdad se trata de una desigualdad entre dos expresiones matemáticas, se denominará inecuación. Una ecuación funcional es aquella en la que algunas de las constantes y variables que intervienen no son realmente números sino funciones; y si en la ecuación aparece algún operador diferencial se llama ecuación diferencial.

Una ecuación polinómica es una igualdad entre dos polinomios. Realizando las mismas transformaciones y en el mismo orden, en los dos miembros de la ecuación, puede conseguirse que uno de ellos se reduzca a cero, razón por la cual se suele considerar que una ecuación polinómica es aquella que en el primer miembro aparece un polinomio y en el segundo aparece el cero. Ejemplo:

$x^3y+4x-y=-2xy \,\!$

sumando 2xy en ambos miembros, obtenemos:

$x^3y+4x-y+2xy=0 \,\!$

Ecuación de primer grado [editar]

Se dice que una ecuación es de primer grado cuando la variable (x) no está elevada a ninguna potencia, es decir, su exponente es 1.

Una ecuación de primer grado tiene la forma canónica:

$ax+b=0\,$

con a diferente de cero.

Su solución es la más sencilla: $\, x = - b /a$

Resolución de ecuaciones de primer grado [editar]

Dada la ecuación:

$9x-9+108x-6x-92=16x+28+396 \,$

1- Transposición:

Primero, se agrupan los monomios que poseen la variable x en uno de los miembros de la ecuación, normalmente, en el izquierdo. Podemos hacerlo teniendo en cuenta que:

Si sumamos (o restamos) un mismo monomio (o número) en los dos términos, la igualdad no varía.

En términos coloquiales, se suele decir: si el número está sumando (Ej: +9), pasa al otro lado restando (-9); y si el número está restando (Ej: -6), pasa al otro lado sumando (+6)

La ecuación quedará así:

$9x+108x-6x-16x=28+396+9+92 \,$

Como puede verse, todos los términos que poseen la variable x han quedado en el primer miembro (a la izquierda del signo igual), y todos los números enteros han quedado en el segundo miembro (a la derecha).

2- Simplificación:

El siguiente paso es convertir la ecuación en otra equivalente más simple y corta.

Realizamos la simplificación del primer miembro: $\, 9x+108x-6x-16x = (9+108-6-16)x = 95x$

Y simplificamos el segundo miembro: $\, 28+396+9+92 = 525$

La ecuación simplificada será:

$95x = 525 \,$

3- Despejar:

Ahora es cuando llegamos al objetivo final: que la variable quede en un término de la igualdad.

Si multiplicamos por un mismo monomio (o número) en los dos términos, la igualdad no varía.

En términos coloquiales: si el número está multiplicando (Ej: ·2), pasa al otro lado dividiendo (en forma fraccionaria) (n/2) (el número pasará sin cambiar el signo).

Si dividimos entre un mismo monomio en los dos términos, la igualdad no varía.

En términos coloquiales: si el número está dividiendo (expresado en forma fraccionaria) (Ej: n/5), pasa al otro lado multiplicando (·5) (el número pasará sin cambiar el signo).

Coloquialmente: en la ecuación, debemos pasar el número 95 al otro lado y, como está multiplicando, pasa dividiendo (sin cambiar de signo):

$x=525/95 \,$

Se comprueba que el ejercicio está teóricamente resuelto, ya que tenemos una igualdad en la que x equivale al número 525/95. Sin embargo, debemos simplificar.

Resolvemos la fracción (numerador dividido entre denominador) en caso de que el resultado diera exacto; si diera decimal, simplificamos la fracción y ése es el resultado.

En la ecuación, vemos que el resultado de la fracción es decimal (525:95 = 5,5263157894737)

por tanto, simplificando, la solución es:

$x=105/19 \,$

Resolución de ecuaciones de primer grado: problema [editar]

Pongamos el siguiente problema: número de canicas que tengo más tres es igual al doble de las canicas que tengo menos dos. ¿Cuántas canicas tengo? El primer paso para resolver este problema es expresar el enunciado como una expresión algebraica:

$x+3=2x-2 \,$

Se podría leer así: X número de canicas + 3 canicas es igual a 2 por el número x de canicas menos 2 canicas.

El enunciado está expresado, pero no podemos ver claramente cuál es el valor de x; para ello se sigue este procedimiento:

$x+3=2x-2 \,$

Primero se pasan todos los términos que dependen de x al primer miembro y los términos independientes al segundo. Para ello tenemos en cuenta que cualquier término que se cambia de miembro cambia también de signo. Así obtenemos:

$x-2x=-2-3 \,$

Que, simplificado, resulta:

$-x=-5 \,$

Esta expresión nos lleva a una regla muy importante del álgebra, que dice que si modificamos igualmente ambos miembros de una ecuación, el resultado es el mismo. Esto significa que podemos sumar, restar, multiplicar, dividir, elevar y radicar los dos miembros de la ecuación por el mismo número, sin que ésta sufra cambios. En este caso, si multiplicamos ambos miembros por -1 obtendremos:

$x=5 \,$

El problema está resuelto.

Ecuaciones de segundo grado [editar]

Todas las ecuaciones de segundo grado tienen dos soluciones (una a veces, que se repite con la otra). Para la resolución de ecuaciones de segundo grado tenemos que distinguir entre tres tipos distintos de ecuaciones:

Ecuaciones de la forma ax² + c = 0 [editar]

Este tipo de ecuaciones son las más sencillas de resolver, ya que se resuelven igual que las de primer grado. Tengamos por ejemplo:

$x^2-16=0 \,$

Pasamos -16 al segundo miembro

$x^2=16 \,$

Ahora pasamos el exponente al segundo miembro, haciendo la operación opuesta; en este caso, raíz cuadrada

$x=\pm \sqrt16 \,$

$x_1=4 \,$

$x_2=-4 \,$

La ecuación ya está resuelta

Ecuaciones de la forma ax² + bx = 0 [editar]

Tengamos:

$3x^2+9x=0 \,$

En este tipo de ecuaciones, lo primero que hacemos es declarar x como factor común de ambas expresiones:

$x(3x+9)=0 \,$

Esta expresión es una multiplicación cuyo resultado es 0; por lo tanto, uno de los factores tiene que ser igual a 0. Así que, o el primer factor (x) es igual a cero (ésta es la primera solución), o:

$3x+9=0 \,$